Свойства степеней с одинаковыми степенями и разными основаниями

Свойства степеней с одинаковыми степенями и разными основаниями

Степени и их свойства


Данная тема очень легкая, если выучить все свойства степеней. Они, кстати, достаточно просты для запоминания. Перед тем, как перейти в свойствам степеней, разберемся, что такое степень. Степень — это произведение одинаковых множителей, состоящая из основания и показателя.

Наглядно это можно рассмотреть на рисунке ниже. Показатель степени показывает (масло масляное) сколько раз мы умножаем основание на себя.

Это очень хорошо проглядывается на следующих примерах: Вроде бы ничего сложного нет, правда? Что ж, время перейти к свойствам.

Свойства степеней. 1. Любое число в первой степени равно самому себе: a1 = a. Сразу рассмотрим примеры. 21 = 2; (-10)1 = -10; 01 = 0.

2. Любое число в нулевой степени равно 1: а0 = 1. Примеры: 20 = 1; (-3)0 = 1; 00 = 1.

3. Единица в любой степени равна 1: 1n = 1. 4. При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются: an · am = an + m.

Почему так? Это свойство легко доказать на числовом примере.

23 · 22 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25. Конечно, так никто не расписывает, а сразу пользуется готовой формулой. Вот еще несколько примеров: 34 · 39 · 315 = 34 + 9 + 15 = 328; (-2)3 · (-2)4 = (-2)3 + 4 = (-2)7. 5. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: an : am = an — m (a ≠ 0).

5. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели вычитаются: an : am = an — m (a ≠ 0).

Доказывается эта формула тоже очень просто с помощью числового примера: три четверки из числителя сокращаем с тремя четверками из знаменателя и остаются две четверки в числителе, т.е. 42. Еще парочка примеров: 1510 : 153 : 155 = 1510 — 3 — 5 = 102; (-3)11 : (-3)5 = (-3)11 — 5 = (-3)6.

6. При возведении степени в степень показатели умножаются: (аn)m = anm.

Примеры: (22)3 = 22 · 3 = 26; (53)10 = 53 · 10 = 530. 7. При возведении произведения в степень каждый множитель возводится в эту степень: (ab)n = anbn. Примеры: (5 · 4)2 = 52 · 42; (2 · 3 · 4 · 5)а = 2а · 3а · 4а ·5а.

8. Чтобы возвести дробь в степень надо и числитель, и знаменатель возвести в эту степень:

. Пример: 9. Степень с дробным показателем можно представить в виде корня некоторой степени по формуле

(а > 0, n ≥ 2).

Пример: 10. Чтобы возвести число, отличное от нуля, в степень с отрицательным показателем надо взять число, обратное данному, и возвести его в ту же степень, только без минуса:

(a ≠ 0). Это же правило работает и для дробей:

(a ≠ 0, b ≠ 0). Примеры: Все эти свойства срабатывают как в одну сторону, так и в другую.

Соберем их в аккуратную табличку.

Напоследок, разберем пример, который может встретиться во второй части ОГЭ по математике.

Он, конечно, не охватывает сразу все формулы — только несколько из них. Нам нужно сократить такую дробь: Преобразуем знаменатель дроби, дважды использовав формулу по номером 5 из второго столбика таблицы. Получившиеся частные в знаменателе запишем в виде дробей. Получилась трехярусная дробь (можно произведение дробей в знаменателе переписать под одну черту).
Получилась трехярусная дробь (можно произведение дробей в знаменателе переписать под одну черту).

Нижний ярус этой дроби перейдет в верхний. Это не магия вне Хогвартса, но описывать эти преобразования текстом очень грустно. Если коротенько, то при делении на дробь мы ее переворачиваем и получается, что знаменатель заползает наверх 🙂 К тому же здесь можно воспользоваться свойством 6 из второго столбика и 42n превратится в 16n.

Переходим к финалу. Преобразуем знаменатель по свойству 7 из второго столбика таблицы (снова) и, наконец-таки, сокращаем дробь! Успехов в учебе! С уважением, Васильева Анна.

Умножение и деление степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются.

Рассмотрим, почему показатели складываются. Во-первых, — это сокращённая запись умножения: 23 = 2 · 2 · 2.

Во-вторых, числа самого на себя, имеющего при этом разные степени, означает, что это число берётся сомножителем столько раз, сколько указывают показатели степеней: 23 · 22 = (2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 3 множ.2 множ. = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 25. 5 множ. Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула: ax · ay = ax+y.

Из примера становится понятно, что при сложении показателей степеней мы получаем общую сумму сомножителей, поэтому для любого выражения будет верна формула: ax · ay = ax+y.

Пример 1. Запишите в виде степени: n3n5. Решение: n3n5 = n3 + 5 = n8. Пример 2.

Упростите: xy2z3x4y5z6. Решение: Чтобы легче было провести умножение степеней с одинаковыми основаниями, можно сначала сгруппировать степени по основаниям: (xx4)(y2y5)(z3z6).

Теперь выполним умножение степеней: (xx4)(y2y5)(z3z6) = (x1 + 4)(y2 + 5)(z3 + 6) = x5y7z9.

Следовательно: xy2z3x4y5z6 = x5y7z9. Пример 3. Выполните умножение: а) nxn5; б) xxn; в) amam. Решение: а) nxn5 = nx + 5; б) xxn = xn + 1; в) amam = am + m = a2m.

Пример 4. Упростите выражение: а) -a2 · (-a)2 · a; б) -(-a)2 · (-a) · a. Решение: а) -a2 · (-a)2 · a = -a2 · a2 · a = -(a2a2a) = -(a2 + 2 + 1) = -a5; б) -(-a)2 · (-a) · a = -a2 · (-a) · a = a3 · a = a4. При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Рассмотрим частное двух степеней с одинаковыми основаниями: n12 : n5, где n — это число, не равное нулю, так как на 0 делить нельзя. Запишем частное в виде дроби: n12 . n5 Представим n12 в виде произведения n7 · n5.

Тогда числитель и знаменатель дроби можно будет сократить на общий множитель n5: n12 = n7 · n5 = n7.

n5n5 Верность совершённого действия легко проверить с помощью умножения: n7 · n5 = n7+5 = n12. Следовательно, общая формула для деления степеней с одинаковым основанием будет выглядеть так: ax : ay = ax-y.

Пример 1. Частное степеней замените степенью с тем же основанием: а) a5; б) m18 .

am10 Решение: а) a5 = a4 · a = a4; a a б) m18 = m8 · m10 = m8.

m10 m10 Пример 2. Выполните деление: а) x7 : x2; б) n10 : n5; в) a30 : a10. Решение: а) x7 : x2 = x7 — 2 = x5; б) n10 : n5 = n10 — 5 = n5; в) a30 : a10 = a30 — 10 = a20.

Пример 3. Чему равно значение выражения: а) an ; б) mx ; в) b5 · b8 .

a2mb3 Решение: а) an = an — 2; a2 б) mx = mx — 1; m в) b5 · b8 = b2 · b3 · b8 = b2 · b8 = b10.

b3b3

Свойства степени с натуральным показателем

Выражение (ab)n является степенью произведения множителей a и b.

Это выражение можно представить в виде произведения степеней anbn. Докажем это на примере. По определению степени: Раскрываем скобки, а затем, используя , переставляем сомножители так, чтобы одинаковые буквы стояли рядом: Группируем отдельно множители a и множители b и получаем: Воспользовавшись определением степени, находим: Следовательно, формула возведения произведения в степень будет выглядеть так: (ab)n = anbn.
Докажем это на примере. По определению степени: Раскрываем скобки, а затем, используя , переставляем сомножители так, чтобы одинаковые буквы стояли рядом: Группируем отдельно множители a и множители b и получаем: Воспользовавшись определением степени, находим: Следовательно, формула возведения произведения в степень будет выглядеть так: (ab)n = anbn.

Свойство степени произведения распространяется на степень произведения двух и более множителей: (3a2b)2 = 9a4b2.

Отсюда следует правило: Чтобы возвести произведение в степень, можно отдельно возвести в эту степень каждый множитель и полученные результаты перемножить.

Для возведения в степень частного надо возвести в степень отдельно делимое и делитель.

Если говорить иначе, то степень частного равна частному степеней: Так как частное в алгебре часто записывается в виде дроби (знак деления заменяется дробной чертой), то правило возведения частного в степень можно переформулировать так, чтобы оно подходило и для дробей: Чтобы возвести дробь в степень надо возвести в эту степень отдельно её числитель и знаменатель.

Общая формула возведения в степень частного будет выглядеть так: Для возведения степени числа в степень, надо перемножить показатели степеней, а основание оставить без изменений. Например, нам нужно возвести 72 в третью степень: (72)3.

Чтобы нам не возводить 7 сначала во вторую степень, а после этого ещё в третью, вспоминаем, что это сокращённая форма умножения одинаковых сомножителей, а это значит, что: (72)3 = 72 · 72 · 72 = 72+2+2 = 72·3 = 76.

Следовательно, при возведении степени в степень показатели степеней перемножаются. Общая формула возведения степени в степень: (ax)y = axy.

Пример 1. Выполните действия: а) (x5)3; б) 2(n3)5; в) -4(a4)2. Решение: а) (x5)3 = x5 · 3 = x15; б) 2(n3)5 = 2n3 · 5 = 2n15; в) -4(a4)2 = -4a4 · 2 = -4a8. Пример 2. Возведите в степень: а) (-2mn)4; б) (3bc)3; в) (-6a4b)2.

Решение: а) (-2mn)4 = (-2)4 · m4 · n4 = 16m4n4; б) (3bc)3 = 33 · b3 · c3 = 27b3c3; в) (-6a4b)2 = (-6)2 · (a4)2 · b2 = 36 · a8 · b2 = 36a8b2. Пример 3. Возведите дробь в степень: а) (2a )2; 5 б) (-xy )5; z в) (a2b)3. 2c3 Решение: а) (2a )2 = (2a)2 = 4a2 ; 55225 б) (-xy)5 = -(xy)5 = -x5y5 ; zz5z5 в) (a2b)3 = (a2b)3 = (a2)3 · b3 = a6b3 .

2c3(2c3)323 · (c3)38c9

Спадило.ру

Что такое степень?Степенью числа a с натуральным показателем n называют произведение n одинаковых множителей, каждый из которых равен а. То есть аn=a×a×a×a ….a (а берется n раз).

Число а называют основанием, а число n показателем степени. Показатель показывает, сколько раз берется основание как множитель.

Пример №1.

  1. 213=21×21×21 число 21 берем 3 раза (показатель 3)
  2. 34=3×3×3×3 число 3 берем 4 раза (показатель 4)

Свойства степени (применимы для степеней с одинаковым основанием)Умножение степенейПри умножении степеней с одинаковым основанием основание оставляют тем же, а показатели складывают:an× am=an+m Пример №2.а2×а8=а2+8=а1055×53×54=55+3+4=512Деление степенейПри делении степеней с одинаковым основанием основание оставляют тем же, а показатели вычитают:an : am=an—m Пример №3.с12:с5=с12-5= с7323:320=323-20= 33Возведение степени в степеньПри возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели умножают:(an)m=an×m Пример №4.(с10)2=с20(63)5=615Степень произведенияПри возведении в степень произведения разных множителей необходимо возвести в эту степень каждый множитель:(a×b×c)m=am×bm×cm Пример №5.(сmn)5=c5m5n5(3254)6=312524Степень дроби (степень частного)При возведении в степень обыкновенной дроби необходимо возвести в данную степень числитель и знаменатель дроби:Важные правила для работы со степенямиЗапомните!

  • Нуль в любой степени равен нулю (0n=0).
  • Свойства степени с натуральным показателем применимы для степени с целым отрицательным показателем.
  • Любое число в нулевой степени равно 1 (а0=1).

Пример №6.с-21 × с-2=с-21+(-2)=с-23х12 : х-2= х12-(-2)=х14(с-3)5=с-15Правила для степени с целым отрицательным показателем

  • Степень с целым отрицательным показателем можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель которой равен единице, а знаменатель степени с натуральным показателем.
  • Если дана дробь, в числителе и знаменателе которой есть степень с целым отрицательным показателем, то можно заменить её дробью, содержащей степень с натуральным показателем, просто поменяв числитель и знаменатель местами.
  • Если дана дробь, в знаменателе которой есть степень с целым отрицательным показателем, то ее можно представить в виде степени с натуральным показателем.

Задание OM0606o Найдите значение выражения:–0,3·(–10)4+4·(–10)2–59Для получения результата необходимо последовательно выполнить математические действия в соответствии с их приоритетом.–0,3·(–10)4+4·(–10)2–59 =Выполняем возведение в степень. Получаем числа, состоящие из единицы и следующего за ней количества нулей, равного показателю степени.

При этом знаки «–» в скобках исчезают, поскольку показатели степеней четные. Получаем:= –0,3·10000+4·100–59 =Выполняем умножение. Для этого в числе 0,3 переносим десятичную запятую на 4 знака вправо (так как в 10000 четыре нуля), а к 4 дописываем, соответственно, 2 нуля.

Получаем:= –3000+400–59 =Выполняем сложение –3000+400. Поскольку это числа с разными знаками, то вычитаем из большего модуля меньший и перед результатом ставим «–», поскольку число с большим модулем отрицательное. Получаем:= –2600–59 =Так как оба числа отрицательные, то складываем их модули и перед результатом ставим «–».

Получаем:= –(2600+59) = –2659Ответ: -2659 pазбирался: Даниил Романович | обсудить разбор | оценить Алла Василевская | � Скачать PDF | Просмотров: 2.1k | Оценить:

Какие возможны действия со степенями?

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому. В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения.

А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике. Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы.

Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»? Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд. Математически это выглядит следующим образом: an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n. Например:

  1. 104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.
  2. 54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
  3. 105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
  4. 42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
  5. 23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло 2-ая ст-нь 3-я ст-нь 1 1 1 2 4 8 3 9 27 4 16 64 5 25 125 6 36 216 7 49 343 8 64 512 9 81 279 10 100 1000 Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства. Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

  1. an : am = (a)(n-m),
  2. (ab ) m=(a)(b*m).
  3. an * am = (a)(n+m),

Проверим на примерах:

  1. 23 * 22 = 8 * 4 = 32.

    С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично:

  1. (23)2 = 82 = 64.

    А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

  2. 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.

Как видим, правила работают. А как же быть со сложением и вычитанием?

Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание. Посмотрим на примерах:

  1. 52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.
  2. 33 + 24 = 27 + 16 = 43,
  3. А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях?

Порядок тот же:

  1. после сложение, вычитание.
  2. при наличии скобок – начинать нужно с них,
  3. потом выполнять действия умножения, деления,
  4. затем возведение в степень,

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

  • Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
  • При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
  • Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.
  • При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
  • При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени.

    То есть: (a * b)n = an * bn.

  • Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.

Что делать при минусовой степени, т.

е. когда показатель отрицательный? Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

  1. A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

И наоборот:

  1. 1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

  1. (A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

  1. A1 = A, 11 = 1, 21 = 2, 31 = 3 … и т. д.
  2. A0 = 1, 10 = 1, 20 = 1, 3.150 = 1, (-4)0 = 1… и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+».

Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот. Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m. С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т.

д. Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

  1. А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице,
  2. А˃1.
  3. Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа.

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте. Например, показатель степени число π.

Оно рациональное.

  • Тогда, при А = 1, 1π = 1.
  • А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.
  • r2 – будет равно 4.
  • r1 – в этом случае равно 3,
  • А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше. Подведём итоги для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций?

Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое. Где еще могут пригодиться эти знания?

В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д. Источник: https://tvercult.ru/nauka/stepen-svoystva-pravila-deystviya-i-formulyi Рассмотрим тему преобразования выражений со степенями, но прежде остановимся на ряде преобразований, которые можно проводить с любыми выражениями, в том числе со степенными.

Мы научимся раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые, работать с основанием и показателем степени, использовать свойства степеней.

В школьном курсе мало кто использует словосочетание «степенные выражения», зато этот термин постоянно встречается в сборниках для подготовки к ЕГЭ.

В большинства случаев словосочетанием обозначаются выражения, которые содержат в своих записях степени. Это мы и отразим в нашем определении. Степенное выражение – это выражение, которое содержит степени.

Приведем несколько примеров степенных выражений, начиная со степени с натуральным показателем и заканчивая степенью с действительным показателем.

  1. В качестве показателя может выступать переменная 3x-54-7·3x-58 или логарифм x2·lgx−5·xlgx.
  2. Чуть сложнее работать со степенью, имеющей рациональный и иррациональный показатели: 26414-3·3·312, 23,5·2-22-1,5, 1a14·a12-2·a-16·b12, xπ·x1-π, 233+5.
  3. Самыми простыми степенными выражениями можно считать степени числа с натуральным показателем: 32, 75+1, (2+1)5, (−0,1)4, 2233, 3·a2−a+a2, x3−1, (a2)3.
  4. А также степени с нулевым показателем: 50, (a+1)0, 3+52−3,20. И степени с целыми отрицательными степенями: (0,5)2+(0,5)-22.

С вопросом о том, что такое степенные выражения, мы разобрались.

Теперь займемся их преобразованием. В первую очередь мы рассмотрим основные тождественные преобразования выражений, которые можно выполнять со степенными выражениями.

Вычислите значение степенного выражения 23·(42−12). Решение Все преобразования мы будем проводить с соблюдением порядка выполнения действий. В данном случае начнем мы с выполнения действий в скобках: заменим степень на цифровое значение и вычислим разность двух чисел.

Имеем 23·(42−12)=23·(16−12)=23·4. Нам остается заменить степень 23 ее значением 8 и вычислить произведение 8·4=32. Вот наш ответ. Ответ: 23·(42−12)=32.

Упростите выражение со степенями 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7. Решение Данное нам в условии задачи выражение содержит подобные слагаемые, которые мы можем привести: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1. Ответ: 3·a4·b−7−1+2·a4·b−7=5·a4·b−7−1.

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/stepennye-vyrazhenija/ Возведение в степень — это арифметическая операция повторяющегося умножения.

Если требуется перемножить число n-ное количество раз, то достаточно возвести его в n-ную степень.

В первую очередь степень — это повторяющееся умножение. Число 134 — это 13 × 13 × 13 × 13, где перемножаются четыре одинаковых сомножителя. Если умножить 134 на 132, то мы получим (13 × 13 × 13 × 13) × (13 × 13), что логично превращается в 136.

Это и есть первое правило возведения в степень, которое гласит: при умножении чисел, возведенных в степень, их показатели суммируются. Математически это записывается как:

  1. am × an = a(m+n).

Если разделить 134 на 132, то нам потребуется вычислить дробь вида:

  1. (13 × 13 × 13 × 13) / (13 × 13).

Мы можем просто сократить числа в числителе и знаменателе, и в результате останется 13 × 13 = 132. Очевидно, деление чисел, возведенных в степень, соответствует вычитанию их показателей.

Второе правило действий со степенями математически выглядит так: am / an = a(m – n).

Теперь давайте возведем 114 в куб, то есть в третью степень. Для этого нам потребуется вычислить выражение (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11) × (11 × 11 × 11 × 11). Получилось 12 сомножителей, следовательно, при возведении в n-ную степень числа в степени m, показатели перемножаются.

Третье правило записывается так: (am)n = a(m × n). Это основные правила работы со степенными выражениями.

Однако число можно возвести в отрицательную степень, дробную и нулевую.

Какой результат даст выражение 150?

Давайте воспользуемся вторым правилом действий степенями и попробуем разделить 154 на 154, что запишется как дробь: 154 / 154. Очевидно, что в числителе и знаменателе стоят одни и те же числа, а когда число делится само на себя, оно превращается в единицу.

Но согласно правилу действий со степенными числами это будет эквивалентно 150. Следовательно: 154 / 154 = 150 = 1. Таким образом, четвертое правило гласит, что любое положительное число в нулевой степени равняется единице.

Выглядит это правило так: a0 = 1.

При помощи второго правила легко объяснить и работу с отрицательными степенями. К примеру, давайте разделим 82 на 84 и запишем выражение в виде дроби.

(8 × 8) / (8 × 8 × 8 × 8). Мы можем сократить две восьмерки в числителе и знаменателе и преобразовать дробь в 1 / (8 × 8). Но согласно правилу в ответе мы должны получить 8-2.

В знаменателе у нас как раз стоит восьмерка в квадрате.

Таким образом:

  1. a-m = 1 / am

При этом для значения -1 правило трансформируется в элегантную формулу:

  1. a-1 = 1 / a.

И последнее правило, которое пригодится вам при работе со степенными функциями, гласит о дробных степенях.

Что мы можем сделать с выражением 7(1/2).

Очевидно, что возвести его в квадрат, и тогда по третьему правилу в результате у нас останется только семерка. Степень 1/2 — это извлечение квадратного корня, так как при возведении его в квадрат мы получаем целое число.

Степень 1/3 соответствует извлечению кубического корня, но как быть с показателем 2/3?

Логично, что это кубический корень из числа, возведенного в квадрат.

Последнее правило гласит, что знаменатель дробного показателя означает извлечение корня, а числитель — возведение в степень. Математически это выглядит как: a(m/n) есть корень n-ной степени из am. Теперь вы знаете, как проводить любые арифметические операции со степенными выражениями.

Вы можете использовать наш калькулятор для вычисления степенных функций. Программа позволяет определить основание, показатель и результат операции. Кроме того, калькулятор сопровождается иллюстрацией графика функций: параболы, кубической параболы и параболы в n-ной степени.

Рассмотрим пару примеров. Если мы положим на банковский депозит $1 000 под годовую ставку в размере 9% годовых, то сколько денег на счету будет через 20 лет? Рост с течением времени рассчитываются по экспоненциальной формуле вида: Рост = a × e(kt),

  1. t – время.
  2. k – коэффициент роста;
  3. e – константа, равная 2,718;
  4. где a – начальное значение,

Для решения банковской задачи нам потребуется возвести 2,718 в степень, равную 20 × 0,09 = 1,8.

Воспользуемся нашим калькулятором и введем в ячейку «Число, x =» значение 2,718, а в ячейку «Степень, n =» значение 1,8.

Мы получим ответ, равный 6,049. Теперь, для подсчета суммы на банковском счету нам необходимо умножить начальное значение $1 000 на прирост в размере 6,049. В итоге, через 20 лет на депозите будет $6 049.

Пусть в школьной задаче требуется построить график функции y = x2,5.

Это алгебраическая задача, для решения которой требуется задаться тремя значениями «x» и вычислить соответствующие ему значения «y». После чего по найденным точкам построить график функции.

Введите в ячейку «Степень, n =» значение 2,5.

После этого последовательно рассчитайте значения «y», вводя в «Число, x =» аргументы 1, 2, 3. Вы получите соответствующие значения функции 1; 5,657; 15,588.

Вам останется только нарисовать кривую по найденным точкам. Источник: https://BBF.ru/calculators/73/ Оценка статьи:

(голосов: 2, средняя оценка: 1,00 из 5)

Загрузка. Поделиться с друзьями:

Как решать показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику.

Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе.

Как это выглядит: $$ a^{f(x)}=b^{g(x)}; $$ Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так: $$2^x=8;$$ $$ 2^x=2^{2x+1};$$ $$3^{x^2}=2^{x^2-2x+3};$$ Внимательно посмотрите на приведенные уравнения.

В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно и .

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие: $$ 7x+2=16;$$ $$x^2-4x+5=0;$$ И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением.

Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать.

Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными. Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров: Пример 1 $$ 2^x=8;$$ Что такое решить уравнение?

Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь.

Ну это просто: $$ 2^3=2*2*2=8; $$ Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение. Решим что-нибудь посложнее. Пример 2 $$ 3^{4x-1}=\frac{1}{9};$$ Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения: $$\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2};$$ Мы применили свойство отрицательной степени по формуле: $$ a^{-n}=\frac{1}{a^n};$$ Теперь наше уравнение будет выглядеть так: $$ 3^{4x-1}=3^{-2};$$ Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\).

Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим: $$ 4x-1=-2;$$ Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

$$4х=-2+1;$$ $$4x=-1;$$ $$x=-\frac{1}{4}.$$ Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Пример 3 $$125^x=25;$$ Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием.

Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим: $$ (5^3)^x=5^2;$$ Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^{n*m}\): $$ 5^{3*x}=5^2;$$ И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени: $$ 3*x=2;$$ $$ x=\frac{2}{3};$$ И еще один пример: Пример 4 $$2^x=-4;$$ Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число. Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может.

Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры. Пусть у нас есть вот такой пример: $$ a^x=b;$$ Где \(a,b\) какие-то положительные числа.

(\(a>0, \; b>0\). Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим. Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\).

Тогда уравнение принимает вид: $$ a^x=a^m;$$ Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени: $$x=m.$$ Вот и весь алгоритм решения.

Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать.

Опять разберем на примерах: Пример 5 $$2^x=16;$$ Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки: $$2^x=2^4$$ Основания одинаковые, значит можно приравнять степени: $$x=4.$$ Пример 6 $$5^{-x}=125 \Rightarrow 5^{-x}=5*5*5 \Rightarrow 5^{-x}=5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$ Пример 7 $$9^{4x}=81 \Rightarrow (3*3)^{4x}=3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^{4x}=3^4 \Rightarrow 3^{8x}=3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac{1}{2}.$$ Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\). Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается.

Например: Пример 8 $$ 3^x=2;$$ \(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\): $$ b=a^{log_{a}(b)};$$ Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить.

Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\): $$ 2=3^{log_{3}(2)};$$ Подставим данное преобразование в наш пример: $$3^x=3^{log_{3}(2)};$$ Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени: $$x=log_{3}(2).$$ Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров. Пример 9 $$ 7^{2x}=5;$$ $$ 7^{2x}=7^{log_{7}(5)};$$ $$2x=log_{7}(5);$$ $$x=\frac{1}{2}*log_{7}(5).$$ Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде: $$ x=\frac{1}{2}*log_{7}(5)=log_{7}(5^{\frac{1}{2}})=log_{7}(\sqrt{5});$$ Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части.

Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться: Рассмотрим уравнение: Пример 10 $$ 9^x-5*3^x+6=0;$$ Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию. Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^{2x}=(3^x)^2\).

Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^{n*m}\). Подставим: $$(3^x)^2-5*3^x+6=0;$$ Обратим внимание, что во всем уравнении все \(х\) «входят» в одинаковую функцию — \(3^x\).

Сделаем замену \(t=3^x, \; t>0\), так как показательная функция всегда положительна. $$t^2-5t+6=0;$$ Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант: $$D=5^2-4*6=25-24=1; \Rightarrow t_{1}=\frac{5+\sqrt{1}}{2}=3; \Rightarrow t_{2}=\frac{5-\sqrt{1}}{2}=2;$$ Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений: $$ 3^x=3;$$ $$3^x=3^1;$$ $$x=1.$$ И второй корень: $$ 3^x=2;$$ $$3^x=3^{log_{3}(2)};$$ $$x=log_{3}(2).$$ Ответ: \(x_{1}=1; \; x_{2}=log_{3}(2).\) И еще один пример на замену: Пример 11 $$3^{4x^2-6x+3}-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$ Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\).

Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену.

Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\): $$ 3^{4x^2-6x+2+1}=3^{2(2x^2-3x+1)+1}=3^{2*(2x^2-3x+1)}*3^1=3*(3^{2x^2-3x+1})^2;$$ Подставим в исходное уравнение: $$3*(3^{2x^2-3x+1})^2-10*3^{2x^2-3x+1}+3=0;$$ Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену: $$t=3^{2x^2-3x+1}; \; t>0;$$ $$3*t^2-10t+3=0;$$ $$D=100-36=64; \Rightarrow t_{1}=3; t_{2}=\frac{1}{3};$$ Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему: $$ 3^{2x^2-3x+1}=3;$$ $$ 2x^2-3x+1=1;$$ $$x(2x-3)=0;$$ $$x=0; \; x=\frac{3}{2}.$$ И второе значение \(t\): $$3^{2x^2-3x+1}=\frac{1}{3};$$ $$3^{2x^2-3x+1}=3^{-1};$$ $$2x^2-3x+1=-1;$$ $$2x^2-3x+2=0;$$ $$D=9-16=-7Раз дискриминант получился меньше нуля, то вторая ветка решений нам корней не дает.

Ответ: \(x_{1}=0; \; x_{2}=\frac{3}{2}.\) Иногда встречаются такие показательные уравнения, в которых не сразу видно, как сделать одинаковые функции, а именно одинаковые основания, чтобы произвести замену. Посмотрим на такой пример: Пример 12 $$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x};$$ Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления.

Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\): $$ 7^{x+1}+3*7^{x}=3^{x+2}+3^{x} \; \; :3^x$$ $$ \frac{7^{x+1}}{3^x}+\frac{3*7^{x}}{3^x}=\frac{3^{x+2}}{3^x}+\frac{3^{x}}{3^x};$$ Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней: $$\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m};$$ $$ a^n*a^m=a^{n+m};$$ $$ \frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b})^n;$$ Разберем каждое слагаемое: $$ \frac{7^{x+1}}{3^x}=\frac{7*7^x}{3^x}=7*\frac{7^x}{3^x}=7*(\frac{7}{3})^x;$$ $$ \frac{3*7^{x}}{3^x}=3*\frac{7^x}{3^x}=3*(\frac{7}{3})^x;$$ $$ \frac{3^{x+2}}{3^x}=3^2*\frac{3^x}{3^x}=3^2*1=9;$$ $$ \frac{3^{x}}{3^x}=1;$$ Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение: $$ 7*(\frac{7}{3})^x+3*(\frac{7}{3})^x=9+1;$$ Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac{7}{3})^x\): $$7t+3t=10;$$ $$10t=10;$$ $$t=1;$$ Сделаем обратную замену: $$(\frac{7}{3})^x=1;$$ Вспоминаем, что \(1=(\frac{7}{3})^0\): $$(\frac{7}{3})^x=(\frac{7}{3})^0;$$ $$x=0.$$ Ответ: \(x=0\). И последний пример на замену: Пример 13 $$2^{x+2}+0,5^{-x-1}+4*2^{x+1}=28;$$ Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью.

Для этого нам понадобятся формулы для степеней: $$ a^n*a^m=a^{n+m};$$ $$a^{-n}=\frac{1}{a^n};$$ $${(a^n)}^m=a^{n*m};$$ Разберем каждое слагаемое нашего уравнения: $$2^{x+2}=2^x*2^2=4*2^x;$$ Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей.

И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

$$0,5^{-x-1}=0,5^{-(x+1)}={(\frac{1}{2})}^{-(x+1)}={(2^{-1})}^{-(x+1)}=2^{x+1}=2^x*2^1=2*2^x;$$ И последнее слагаемое со степенью: $$ 4*2^{x+1}=4*2^x*2^1=8*2^x;$$ Подставим все наши преобразования в исходное уравнение: $$4*2^x+2*2^x+8*2^x=28;$$ Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)): $$2^x*(4+2+8)=28;$$ $$14*2^x=28;$$ $$2^x=\frac{28}{14}=2;$$ $$2^x=2^1;$$ $$x=1.$$ Ответ: \(x=1.\) Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть Пример 14 $$2^{x+1}*5^x=10^{x+1}*5^{x+2};$$ Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется.

Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\).

Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение: $$2^{x+1}*5^x=(2*5)^{x+1}*5^{x+2};$$ Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\): $$ 2^{x+1}*5^x=2^{x+1}*5^{x+1}*5^{x+2};$$ И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо: $$\frac{2^{x+1}}{2^{x+1}}=\frac{5^{x+1}*5^{x+2}}{5^x};$$ Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^{n+m}\) и \(\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}\): $$1=\frac{5^{x+1+x+2}}{5^x};$$ $$1=\frac{5^{2x+3}}{5^x};$$ $$1=5^{2x+3-x};$$ $$1=5^{x+3};$$ $$5^0=5^{x+3};$$ $$x+3=0;$$ $$x=-3.$$ Ответ: \(x=-3\).

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать?

Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности.